ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha$: синус меняется на косинус, а угол при малых $\alpha >0$ лежит в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+\frac{x}{2}\right)=-\cos \frac{x}{2}$.

Период синуса $2\pi$, поэтому $\sin (3\pi +x)=\sin (\pi +x)=-\sin x$ (угол $\pi +x$ в III четверти, синус там отрицателен). Уравнение принимает вид

$$-\cos \frac{x}{2}+\sin x=0.$$

Приведём всё к углу $\frac{x}{2}$ по формуле синуса двойного угла: $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$. Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$:

$$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}=0\iff \cos \frac{x}{2}\left(2\sin \frac{x}{2}-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos \frac{x}{2}=0,\\ \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Решим каждое простейшее уравнение относительно $\frac{x}{2}$:

$$[\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ \frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ \frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Умножим на $2$; периоды серий тоже удваиваются:

$$[\begin{array}{l}x=\pi +2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+4\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{3}+4\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-10\pi ;-7\pi \right]$ равна $3\pi >2\pi$, к тому же у двух серий период $4\pi$, поэтому отберём корни двойным неравенством. Разделим каждое неравенство на $\pi >0$.

Серия $x=\pi +2\pi k$:

$$-10⩽1+2k⩽-7\iff -11⩽2k⩽-8\iff -\frac{11}{2}⩽k⩽-4.$$

Подходят $k=-5$ и $k=-4$, корни $x=\pi -10\pi =-9\pi$ и $x=\pi -8\pi =-7\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+4\pi k$:

$$-10⩽\frac{1}{3}+4k⩽-7\iff -\frac{31}{3}⩽4k⩽-\frac{22}{3}\iff -\frac{31}{12}⩽k⩽-\frac{11}{6}.$$

Подходит только $k=-2$, корень $x=\frac{\pi }{3}-8\pi =-\frac{23\pi }{3}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{3}+4\pi k$:

$$-10⩽\frac{5}{3}+4k⩽-7\iff -\frac{35}{3}⩽4k⩽-\frac{26}{3}\iff -\frac{35}{12}⩽k⩽-\frac{13}{6}.$$

Так как $-\frac{35}{12}>-3$ и $-\frac{13}{6}<-2$, целых $k$ здесь нет, эта серия корней на отрезке не даёт.

На отрезке лежат $-9\pi$, $-\frac{23\pi }{3}$, $-7\pi$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$, $\frac{\pi }{3}+4\pi k$, $\frac{5\pi }{3}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-9\pi$, $-\frac{23\pi }{3}$, $-7\pi$.