а) Решите уравнение log₄ x·log₄(x²-1)/2=log₄(x(x²-1))/8. б) Найдите… — 14 задание ЕГЭ профиль

№14 Логарифмические уравнения средняя 2023 развёрнутое

а) Решите уравнение $lo g_{4} x \cdot lo g_{4} \frac{x ^{2} - 1}{2} = lo g_{4} \frac{x ( x ^{2} - 1 )}{8} .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[lo g_{3} 4; lo g_{3} 49] .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ: логарифм определён только от положительного числа.

$⎩ ⎨ ⎧ x > 0, \frac{x ^{2} - 1}{2} > 0, \frac{x ( x ^{2} - 1 )}{8} > 0.$

Из второго неравенства $x^{2} > 1$ , то есть $x < - 1$ или $x > 1$ ; вместе с $x > 0$ получаем $x > 1$ . При $x > 1$ оба множителя $x$ и $x^{2} - 1$ положительны, поэтому третье неравенство выполнено. ОДЗ: $x > 1$ .

На ОДЗ $x > 0$ и $x^{2} - 1 > 0$ , поэтому можно применить формулы логарифма частного и произведения. Учтём, что $lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ (так как $4^{\frac{1}{2}} = 2$ ) и $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ (так как $4^{\frac{3}{2}} = 8$ ):

$lo g_{4} \frac{x ^{2} - 1}{2} = lo g_{4} (x^{2} - 1) - \frac{1}{2}, lo g_{4} \frac{x ( x ^{2} - 1 )}{8} = lo g_{4} x + lo g_{4} (x^{2} - 1) - \frac{3}{2} .$

Обозначим $a = lo g_{4} x$ , $b = lo g_{4} (x^{2} - 1)$ . Уравнение принимает вид

$a (b - \frac{1}{2}) = a + b - \frac{3}{2} \Leftrightarrow ab - \frac{3}{2} a - b + \frac{3}{2} = 0.$

Сгруппируем слагаемые: в первых двух вынесем $a$ , в последних двух $- 1$ :

$a (b - \frac{3}{2}) - (b - \frac{3}{2}) = 0 \Leftrightarrow (a - 1) (b - \frac{3}{2}) = 0.$

Вернёмся к переменной $x$ и учтём ОДЗ:

$⎩ ⎨ ⎧ [lo g_{4} x = 1, lo g_{4} (x^{2} - 1) = \frac{3}{2}, x > 1 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ [x = 4, x^{2} - 1 = 8, x > 1.$

Из уравнения $x^{2} - 1 = 4^{\frac{3}{2}} = 8$ получаем $x^{2} = 9$ , то есть $x = 3$ или $x = - 3$ . Корень $x = - 3$ не входит в ОДЗ. Корни $x = 4$ и $x = 3$ удовлетворяют условию $x > 1$ .

Проверка: при $x = 3$ левая часть $lo g_{4} 3 \cdot lo g_{4} 4 = lo g_{4} 3$ , правая $lo g_{4} \frac{3 \cdot 8}{8} = lo g_{4} 3$ ; при $x = 4$ левая часть $lo g_{4} 4 \cdot lo g_{4} \frac{15}{2} = lo g_{4} \frac{15}{2}$ , правая $lo g_{4} \frac{4 \cdot 15}{8} = lo g_{4} \frac{15}{2}$ .

б) Запишем корни как логарифмы по основанию 3: $3 = lo g_{3} 27$ , $4 = lo g_{3} 81$ . Функция $y = lo g_{3} t$ возрастает (основание $3 > 1$ ), поэтому логарифмы сравниваются так же, как аргументы.

Корень $3$ : так как $4 < 27 < 49$ , то $lo g_{3} 4 < lo g_{3} 27 < lo g_{3} 49$ — корень лежит на отрезке.

Корень $4$ : так как $81 > 49$ , то $lo g_{3} 81 > lo g_{3} 49$ — корень правее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $3$ ; $4$ ; б) $3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Сообщить об ошибке

Ещё задания №14