ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим оба слагаемых по формулам приведения. В $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)$ угол $\frac{3\pi }{2}$ отложен на вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус; при малых $x>0$ угол лежит в IV четверти, где синус отрицателен: $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x$. После возведения в квадрат знак исчезает: ${\sin }^2\left(\frac{3\pi }{2}+x\right)={\cos }^{2}x$.

В $\cos (\pi -x)$ угол $\pi$ лежит на горизонтальной оси, функция не меняется; угол $\pi -x$ во II четверти, где косинус отрицателен: $\cos (\pi -x)=-\cos x$.

Уравнение принимает вид

$$2{\cos }^{2}x-\cos x=0\iff \cos x\left(2\cos x-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Отсюда

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-2\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя. Дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю ($-\frac{3\pi }{2}$) и левую ($-\pi$) точки до нижней и покрывает I, II и III четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки. На дуге это $-\frac{3\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{2}$ (правый конец отрезка). Соседние значения $-\frac{5\pi }{2}<-2\pi$ и $\frac{\pi }{2}>-\frac{\pi }{2}$ вне отрезка.

Точка серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ лежит в I четверти, на дуге. Правая точка дуги — $-2\pi$, поэтому корень равен $-2\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{5\pi }{3}$. Проверим: $-\frac{12\pi }{6}⩽-\frac{10\pi }{6}⩽-\frac{3\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{11\pi }{3}<-2\pi$ и $\frac{\pi }{3}>-\frac{\pi }{2}$ вне отрезка.

Точка серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ лежит в IV четверти — на дуге её нет: ближайшие значения $-\frac{7\pi }{3}<-2\pi$ и $-\frac{\pi }{3}>-\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{5\pi }{3}$, $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{3}$, $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{\pi }{2}$.