ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен, $\cos x-\sin 2x+25>0$. Это верно при всех $x$: $\cos x⩾-1$ и $-\sin 2x⩾-1$, поэтому аргумент не меньше $23$.

По определению логарифма ${\log }_{5}A=2$ равносильно $A=5^2$:

$$\cos x-\sin 2x+25=25\iff \cos x-\sin 2x=0.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x-2\sin x\cos x=0\iff \cos x\left(1-2\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Отсюда

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая. Дуга идёт от верхней точки против часовой стрелки через левую ($3\pi$) и нижнюю ($\frac{7\pi }{2}$) точки до правой и покрывает II, III и IV четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки. На дуге это $\frac{5\pi }{2}$ (левый конец отрезка) и $\frac{7\pi }{2}$. Соседние значения $\frac{3\pi }{2}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{9\pi }{2}>4\pi$ вне отрезка.

Точка серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ лежит в I четверти — на дуге её нет: ближайшие значения $\frac{13\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{25\pi }{6}>\frac{24\pi }{6}=4\pi$.

Точка серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ лежит во II четверти, на дуге: это $2\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$. Проверим: $\frac{15\pi }{6}⩽\frac{17\pi }{6}⩽\frac{24\pi }{6}$. Соседние значения $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{29\pi }{6}$ вне отрезка.

На отрезке лежат $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{17\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{17\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}$.