ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$4\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x.$$

Подставим в уравнение:

$$2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}\iff -2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{2}.$$

Разделим обе части на $-2\sqrt{2}\ne 0$:

$$\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{\pi }{2}$ — верхняя. Дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю ($-\frac{\pi }{2}$) и правую ($0$) точки до верхней и покрывает III, IV и I четверти.

Точка серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ лежит во II четверти — на дуге её нет: ближайшие значения $-\frac{4\pi }{3}<-\pi$ и $\frac{2\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$.

Точка серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ лежит в III четверти, на дуге: это число $-\frac{2\pi }{3}$. Проверим: $-\pi ⩽-\frac{2\pi }{3}⩽\frac{\pi }{2}$. Соседние значения $-\frac{8\pi }{3}<-\pi$ и $\frac{4\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$ вне отрезка.

На отрезке лежит один корень $-\frac{2\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{2\pi }{3}$.