ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Ограничение: тангенс и дробь $\frac{5}{\cos x}$ определены при $\cos x\ne 0$.

Из тождества $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ получаем ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$. Подставим в уравнение:

$$3\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)-\frac{5}{\cos x}+5=0\iff \frac{3}{{\cos }^{2}x}-\frac{5}{\cos x}+2=0.$$

Сделаем замену $u=\frac{1}{\cos x}$. Так как $0<|\cos x|⩽1$, то $|u|⩾1$. Получаем квадратное уравнение

$$3u^2-5u+2=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1$. Тогда

$$u_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3},u_2=\frac{5+1}{6}=1.$$

Значение $u_1=\frac{2}{3}$ не подходит: $\left|\frac{2}{3}\right|<1$, ему соответствует $\cos x=\frac{3}{2}>1$, а косинус не превосходит $1$. Значение $u_2=1$ подходит:

$$\frac{1}{\cos x}=1\iff \cos x=1.$$

Ограничение $\cos x\ne 0$ при этом выполнено. Отсюда $x=2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-3\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя. Дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю ($-\frac{5\pi }{2}$) и правую ($-2\pi$) точки до верхней и покрывает III, IV и I четверти.

Серия $x=2\pi k$ — правая точка окружности, на дуге ей соответствует число $-2\pi$. Проверим двойным неравенством, разделив на $\pi$:

$$-3⩽2k⩽-\frac{3}{2}\iff -\frac{3}{2}⩽k⩽-\frac{3}{4}.$$

Подходит только $k=-1$, то есть $x=-2\pi$. Соседние значения $-4\pi <-3\pi$ и $0>-\frac{3\pi }{2}$ вне отрезка.

Ответ: а) $2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$.