ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Знаменатель $3^x>0$ при всех $x$, поэтому уравнение определено при всех $x$.

Приведём степени к основанию 3: $27^x={\left(3^3\right)}^x=3^{3x}$ и $3^{x+1}=3\cdot 3^x$. Умножим обе части уравнения на $3^x$. Так как $3^x>0$, это равносильный переход:

$$3^{3x}\cdot 3^x-30\cdot 3^x\cdot 3^x+81=0\iff 3^{4x}-30\cdot 3^{2x}+81=0.$$

Заметим, что $3^{4x}={\left(3^{2x}\right)}^2$. Сделаем замену $t=3^{2x}=9^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$:

$$t^2-30t+81=0.$$

Найдём дискриминант: $D=30^2-4\cdot 81=900-324=576=24^2$. Тогда

$$t_1=\frac{30+24}{2}=27,t_2=\frac{30-24}{2}=3.$$

Оба значения положительны и подходят. Сделаем обратную замену. Степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях, так как показательная функция монотонна:

$$3^{2x}=27=3^3\iff 2x=3\iff x=1,5;$$

$$3^{2x}=3=3^1\iff 2x=1\iff x=0,5.$$

б) Чтобы сравнить корни с концами отрезка $\left[{\log }_{7}2;{\log }_{7}15\right]$, запишем их тоже как логарифмы по основанию 7, используя $a={\log }_7{7}^a$:

$$0,5={\log }_7{7}^{\frac{1}{2}}={\log }_7\sqrt{7},1,5={\log }_7{7}^{\frac{3}{2}}={\log }_7\sqrt{343}.$$

Функция $y={\log }_{7}t$ возрастает (основание $7>1$), поэтому логарифмы сравниваются так же, как их аргументы. Осталось сравнить числа $2$, $\sqrt{7}$, $15$ и $\sqrt{343}$. Все они положительны, а для положительных чисел большему числу соответствует больший квадрат. Сравним квадраты: $4$, $7$, $225$ и $343$:

$$4<7<225<343\Rightarrow 2<\sqrt{7}<15<\sqrt{343}.$$

Значит, ${\log }_{7}2<0,5<{\log }_{7}15<1,5$: корень $0,5$ лежит на отрезке, а корень $1,5$ — правее его правого конца.

Ответ: а) $0,5$; $1,5$; б) $0,5$.