ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём $\cos x$ в левую часть и вынесем его за скобки в первых двух слагаемых:

$$\cos x\cos 2x-\cos x-\sqrt{2}{\sin }^{2}x=0\iff \cos x\left(\cos 2x-1\right)-\sqrt{2}{\sin }^{2}x=0.$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, поэтому $\cos 2x-1=-2{\sin }^{2}x$. Получаем

$$-2{\sin }^{2}x\cos x-\sqrt{2}{\sin }^{2}x=0\iff {\sin }^{2}x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$. Второе уравнение даёт две точки окружности в левой полуплоскости — во II и III четвертях:

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-\pi$ — левая. Дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через правую ($-2\pi$) и верхнюю ($-\frac{3\pi }{2}$) точки до левой и покрывает IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки. На дуге это $-2\pi$ и $-\pi$ (правый конец отрезка). Соседние значения $-3\pi <-\frac{5\pi }{2}$ и $0>-\pi$ вне отрезка.

Точка серии $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ лежит во II четверти, на дуге. Правая точка дуги — $-2\pi$, поэтому корень равен $-2\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}$. Проверим: $-\frac{10\pi }{4}⩽-\frac{5\pi }{4}⩽-\frac{4\pi }{4}$. Соседние значения $-\frac{13\pi }{4}<-\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{4}>-\pi$ вне отрезка.

Точка серии $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ лежит в III четверти — на дуге её нет: ближайшие значения $-\frac{11\pi }{4}<-\frac{10\pi }{4}$ и $-\frac{3\pi }{4}>-\pi$.

На отрезке лежат $-2\pi$, $-\frac{5\pi }{4}$, $-\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$, $-\frac{5\pi }{4}$, $-\pi$.