ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (x-\pi )=\cos (\pi -x)=-\cos x$ по формуле приведения. Значит, $-\sqrt{3}\cos (x-\pi )=\sqrt{3}\cos x$.

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Уравнение принимает вид

$$2\left(1-{\cos }^{2}x\right)+\sqrt{3}\cos x-2=0\iff -2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\cos x=0\iff 2{\cos }^{2}x-\sqrt{3}\cos x=0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Отсюда

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-4\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя. Дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю ($-\frac{7\pi }{2}$) и левую ($-3\pi$) точки до нижней и покрывает I, II и III четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки. На дуге это $-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{5\pi }{2}$ (правый конец отрезка). Соседние значения $-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$ вне отрезка.

Точка серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ лежит в I четверти, на дуге. Правая точка дуги — $-4\pi$, поэтому корень равен $-4\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{23\pi }{6}$. Проверим: $-\frac{24\pi }{6}⩽-\frac{23\pi }{6}⩽-\frac{15\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{35\pi }{6}$ и $-\frac{11\pi }{6}$ вне отрезка.

Точка серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ лежит в IV четверти — на дуге её нет: ближайшие значения $-\frac{25\pi }{6}<-4\pi$ и $-\frac{13\pi }{6}>-\frac{5\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{23\pi }{6}$, $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{23\pi }{6}$, $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{2}$.