ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sin x+\cos x.$$

Подставим в уравнение и перенесём $\cos x$ в левую часть:

$$2{\sin }^{2}x+\sin x+\cos x=\cos x\iff 2{\sin }^{2}x+\sin x=0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin x\left(2\sin x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$. Второе уравнение даёт две точки окружности в нижней полуплоскости — в IV и III четвертях:

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-2\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя. Дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю ($-\frac{3\pi }{2}$) и левую ($-\pi$) точки до нижней и покрывает I, II и III четверти.

Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки. На дуге это $-2\pi$ (левый конец отрезка) и $-\pi$. Соседние значения $-3\pi <-2\pi$ и $0>-\frac{\pi }{2}$ вне отрезка.

Точка серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ лежит в IV четверти — на дуге её нет: ближайшие значения $-\frac{13\pi }{6}<-2\pi$ и $-\frac{\pi }{6}>-\frac{\pi }{2}$.

Точка серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ лежит в III четверти, на дуге: это $-\frac{5\pi }{6}$. Проверим: $-\frac{12\pi }{6}⩽-\frac{5\pi }{6}⩽-\frac{3\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{17\pi }{6}<-2\pi$ и $\frac{7\pi }{6}>-\frac{\pi }{2}$ вне отрезка.

На отрезке лежат $-2\pi$, $-\pi$, $-\frac{5\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$, $-\pi$, $-\frac{5\pi }{6}$.