ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)=-\sin x$ по формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$. Значит, $-\sqrt{3}\sin (x-\pi )=\sqrt{3}\sin x$.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Уравнение принимает вид

$$1-2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x-1=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin x=0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin x\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Отсюда

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая. Дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через правую ($2\pi$) и верхнюю ($\frac{5\pi }{2}$) точки до левой и покрывает IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки окружности. На дуге это $2\pi$ и $3\pi$ (правый конец отрезка). Соседние значения $\pi <\frac{3\pi }{2}$ и $4\pi >3\pi$ вне отрезка.

Точка серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ лежит в I четверти, на дуге: это $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$. Точка серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ лежит во II четверти, тоже на дуге: это $2\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$. Проверим со знаменателем 6: $\frac{9\pi }{6}⩽\frac{14\pi }{6}<\frac{16\pi }{6}⩽\frac{18\pi }{6}$. Соседние значения этих серий ($\frac{\pi }{3}$, $\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{13\pi }{3}$, $\frac{14\pi }{3}$) вне отрезка.

На отрезке лежат $2\pi$, $\frac{7\pi }{3}$, $\frac{8\pi }{3}$, $3\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$, $\frac{7\pi }{3}$, $\frac{8\pi }{3}$, $3\pi$.