ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем первое слагаемое по формуле косинуса разности $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x.$$

Второе слагаемое упростим по формуле приведения: $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$ (синус меняется на косинус, а угол $\frac{3\pi }{2}-x$ при малых $x>0$ лежит в III четверти, где синус отрицателен).

Подставим в уравнение:

$$2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)-2\cos x=0\iff \cos x+\sqrt{3}\sin x-2\cos x=0\iff \sqrt{3}\sin x-\cos x=0.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не обращаются в нуль одновременно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\sqrt{3}\mathrm{tg}x-1=0\iff \mathrm{tg}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\iff x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-\pi$ — левая. Дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через правую ($-2\pi$) и верхнюю ($-\frac{3\pi }{2}$) точки до левой и покрывает IV, I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ — это две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{6}$ в I четверти и $\frac{7\pi }{6}$ в III четверти. На дуге лежит только точка из I четверти. Правая точка дуги — $-2\pi$, значит, корень равен $-2\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6}$.

Проверим: $-\frac{15\pi }{6}⩽-\frac{11\pi }{6}⩽-\frac{6\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения серии $-\frac{11\pi }{6}-\pi =-\frac{17\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}$ и $-\frac{11\pi }{6}+\pi =-\frac{5\pi }{6}>-\pi$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{6}$.