ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Подкоренное выражение $1-{\cos }^{2}x⩾0$ при всех $x$, так как $|\cos x|⩽1$. Показательная функция определена при любом показателе, поэтому уравнение определено при всех $x$.

По основному тригонометрическому тождеству $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$, а корень из квадрата равен модулю: $\sqrt{a^2}=|a|$. Значит, $\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=|\sin x|$, и уравнение принимает вид

$$25^{-|\sin x|}-25^{\sin x}=-\frac{24}{5}.$$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай $\sin x⩽0$. Тогда $|\sin x|=-\sin x$ и $-|\sin x|=\sin x$, левая часть равна $25^{\sin x}-25^{\sin x}=0$. Равенство $0=-\frac{24}{5}$ неверно, в этом случае решений нет.

Случай $\sin x>0$. Тогда $|\sin x|=\sin x$:

$$25^{-\sin x}-25^{\sin x}=-\frac{24}{5}.$$

Сделаем замену $t=25^{\sin x}$, тогда $25^{-\sin x}=\frac{1}{t}$. Функция $y=25^u$ возрастает, а $0<\sin x⩽1$, поэтому $1<t⩽25$. Получаем

$$\frac{1}{t}-t=-\frac{24}{5}.$$

Умножим обе части на $5t$. Так как $t>0$, это равносильный переход:

$$5-5t^2=-24t\iff 5t^2-24t-5=0.$$

Найдём дискриминант: $D=24^2+4\cdot 5\cdot 5=576+100=676=26^2$. Тогда

$$t_1=\frac{24+26}{10}=5,t_2=\frac{24-26}{10}=-\frac{1}{5}.$$

Значение $t_2=-\frac{1}{5}$ не удовлетворяет условию $1<t⩽25$. Значение $t_1=5$ подходит. Сделаем обратную замену, записав $5=25^{\frac{1}{2}}$:

$$25^{\sin x}=25^{\frac{1}{2}}\iff \sin x=\frac{1}{2}.$$

Показатели равны, так как показательная функция монотонна. Найденное значение положительно, то есть условие случая $\sin x>0$ выполнено. Отсюда

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-3\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя. Дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю ($-\frac{5\pi }{2}$) и правую ($-2\pi$) точки до верхней и покрывает III, IV и I четверти.

Точка серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ лежит в I четверти, на дуге. Правая точка дуги — это $-2\pi$, значит, корень равен $-2\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6}$. Проверим: $-\frac{18\pi }{6}⩽-\frac{11\pi }{6}⩽-\frac{9\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{23\pi }{6}<-3\pi$ и $\frac{\pi }{6}>-\frac{3\pi }{2}$ вне отрезка.

Точка серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ лежит во II четверти — на дуге её нет: ближайшие значения $-\frac{19\pi }{6}<-\frac{18\pi }{6}=-3\pi$ и $-\frac{7\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}=-\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежит один корень $-\frac{11\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{6}$.