ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ на вертикальной оси меняет синус на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где синус положителен. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x=\sqrt{3}\cos x\iff 2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0.$$

Делить на $\cos x$ нельзя — так потеряются корни, при которых $\cos x=0$. Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Второе уравнение даёт две точки окружности, в I и II четвертях:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга идёт от верхней точки против часовой стрелки через левую ($-3\pi$) и нижнюю ($-\frac{5\pi }{2}$) точки до правой и покрывает II, III и IV четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки. На дуге это $-\frac{7\pi }{2}$ (сам левый конец отрезка) и $-\frac{5\pi }{2}$. Соседние значения $-\frac{9\pi }{2}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{3\pi }{2}>-2\pi$ лежат вне отрезка.

Точка серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ лежит в I четверти — на дуге её нет. Действительно, ближайшие значения $-\frac{11\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{5\pi }{3}>-2\pi$.

Точка серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ лежит во II четверти, на дуге. Это число $-4\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{10\pi }{3}$. Проверим: $-\frac{21\pi }{6}⩽-\frac{20\pi }{6}⩽-\frac{12\pi }{6}$ — подходит. Соседние значения $-\frac{16\pi }{3}$ и $-\frac{4\pi }{3}$ вне отрезка.

На отрезке лежат $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{10\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{10\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{2}$.