ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим синус по формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отложен на вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $\alpha >0$ угол $\frac{3\pi }{2}-\alpha$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. Значит,

$$\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)=-\cos \frac{x}{2}.$$

В уравнении есть углы $x$ и $\frac{x}{2}$. Приведём всё к углу $\frac{x}{2}$ по формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ при $\alpha =\frac{x}{2}$:

$$\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}-1.$$

Подставим оба выражения в уравнение:

$$2{\cos }^2\frac{x}{2}-1-\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}+1=0\iff 2{\cos }^2\frac{x}{2}-\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos \frac{x}{2}$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\cos \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}-\sqrt{3}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos \frac{x}{2}=0,\\ \cos \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n$, из второго $\frac{x}{2}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi m$, где $n,m\in \mathbb{Z}$. Умножим на $2$; при этом удваиваются и периоды серий:

$$[\begin{array}{l}x=\pi +2\pi n,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+4\pi m,\end{array}n,m\in \mathbb{Z}.$$

б) У двух серий период $4\pi$: точка такой серии на окружности соответствует корню только через оборот, поэтому отбор удобнее провести двойным неравенством. Запишем $-2,5\pi =-\frac{5\pi }{2}$ и разделим каждое неравенство на $\pi >0$.

Серия $x=\pi +2\pi n$:

$$-4⩽1+2n⩽-\frac{5}{2}\iff -5⩽2n⩽-\frac{7}{2}\iff -\frac{5}{2}⩽n⩽-\frac{7}{4}.$$

Подходит только $n=-2$, корень $x=\pi -4\pi =-3\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+4\pi m$:

$$-4⩽\frac{1}{3}+4m⩽-\frac{5}{2}\iff -\frac{13}{3}⩽4m⩽-\frac{17}{6}\iff -\frac{13}{12}⩽m⩽-\frac{17}{24}.$$

Подходит только $m=-1$, корень $x=\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{11\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+4\pi m$:

$$-4⩽-\frac{1}{3}+4m⩽-\frac{5}{2}\iff -\frac{11}{3}⩽4m⩽-\frac{13}{6}\iff -\frac{11}{12}⩽m⩽-\frac{13}{24}.$$

Между $-\frac{11}{12}$ и $-\frac{13}{24}$ целых чисел нет, эта серия корней на отрезке не даёт.

На отрезке $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ лежат $-\frac{11\pi }{3}$ и $-3\pi$.

Ответ: а) $\pi +2\pi n$, $\pm \frac{\pi }{3}+4\pi m$, $n,m\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{3}$, $-3\pi$.