ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству и формуле разности квадратов

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=(1-\sin x)(1+\sin x).$$

Перенесём всё в левую часть:

$$(2\cos x-\sin x)(1+\sin x)-(1-\sin x)(1+\sin x)=0.$$

Делить обе части на $1+\sin x$ нельзя — так можно потерять корни, при которых этот множитель равен нулю. Поэтому вынесем его за скобки:

$$(1+\sin x)((2\cos x-\sin x)-(1-\sin x))=0\iff (1+\sin x)(2\cos x-1)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-1,\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $[5\pi ;6\pi ]$ равна $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $5\pi =4\pi +\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $6\pi$ — правой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим нижнюю полуокружность, то есть III и IV четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $5\pi =\frac{30\pi }{6}$, $6\pi =\frac{36\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ — это нижняя точка окружности, она на дуге. Ей соответствует число $6\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{11\pi }{2}=\frac{33\pi }{6}$, и $\frac{30\pi }{6}⩽\frac{33\pi }{6}⩽\frac{36\pi }{6}$. Соседние значения $\frac{7\pi }{2}<5\pi$ и $\frac{15\pi }{2}>6\pi$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в I четверти, которая на дугу не входит: ближайшие значения $\frac{13\pi }{3}=\frac{26\pi }{6}<\frac{30\pi }{6}$ и $\frac{19\pi }{3}=\frac{38\pi }{6}>\frac{36\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в IV четверти, она на дуге. Ей соответствует число $6\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{17\pi }{3}=\frac{34\pi }{6}$, и $\frac{30\pi }{6}⩽\frac{34\pi }{6}⩽\frac{36\pi }{6}$. Соседние значения $\frac{11\pi }{3}<5\pi$ и $\frac{23\pi }{3}>6\pi$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $\frac{11\pi }{2}$, $\frac{17\pi }{3}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{2}$, $\frac{17\pi }{3}$.