ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)$, а по формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$. Значит, $\sin (x-\pi )=-\sin x$, и уравнение принимает вид

$$\cos 2x+\sin x-1=0.$$

Чтобы получить уравнение с одной функцией, применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$:

$$1-2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x=0\iff \sin x\left(2\sin x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ изображается верхней точкой окружности, конец $-2\pi$ — правой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $-\frac{7\pi }{2}=-\frac{21\pi }{6}$, $-2\pi =-\frac{12\pi }{6}$.

Серия $x=\pi k$ — это правая и левая точки окружности, обе лежат на дуге. Левой точке соответствует число $-4\pi +\pi =-3\pi =-\frac{18\pi }{6}$, правой — $-2\pi$, это конец отрезка. Соседние значения серии $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ даёт точку в I четверти, которая на дугу не входит: ближайшие значения $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}$ и $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{12\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ даёт точку во II четверти, она на дуге. Ей соответствует число $-4\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{19\pi }{6}$, и $-\frac{21\pi }{6}⩽-\frac{19\pi }{6}⩽-\frac{12\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{31\pi }{6}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{7\pi }{6}>-2\pi$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-\frac{19\pi }{6}$, $-3\pi$, $-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{19\pi }{6}$, $-3\pi$, $-2\pi$.