ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}x+2>0,\\ x^4>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-2,\\ x\ne 0.\end{array}$$

Приведём правую часть к основанию 7. Так как $49=7^2$, по свойству ${\log }_{a^2}b=\frac{1}{2}{\log }_{a}b$ получаем ${\log }_{49}\left(x^4\right)=\frac{1}{2}{\log }_7\left(x^4\right)$. На ОДЗ $x^2>0$ и $x^4={\left(x^2\right)}^2$, поэтому по свойству логарифма степени ${\log }_7\left(x^4\right)=2{\log }_7\left(x^2\right)$. Значит,

$${\log }_{49}\left(x^4\right)={\log }_7\left(x^2\right).$$

Здесь важно оставить под логарифмом именно $x^2$: запись $2{\log }_{7}x$ была бы неверной, так как $x$ может быть отрицательным.

Уравнение принимает вид

$${\log }_7(x+2)={\log }_7\left(x^2\right).$$

Логарифмическая функция монотонна, поэтому на ОДЗ логарифмы с одинаковым основанием равны только при равных аргументах:

$$x+2=x^2\iff x^2-x-2=0\iff (x-2)(x+1)=0.$$

Получаем $x=2$ или $x=-1$. Проверим ОДЗ: оба числа больше $-2$ и не равны нулю, значит, оба являются корнями.

б) Чтобы сравнить корни с концами отрезка $\left[{\log }_6\frac{1}{7};{\log }_{6}35\right]$, запишем корни как логарифмы по основанию 6:

$$-1={\log }_6{6}^{-1}={\log }_6\frac{1}{6},2={\log }_6{6}^2={\log }_{6}36.$$

Основание $6>1$, поэтому функция $y={\log }_{6}t$ возрастает: из $a<b$ (при $a,b>0$) следует ${\log }_{6}a<{\log }_{6}b$.

Для корня $-1$: так как $\frac{1}{7}<\frac{1}{6}<35$, то

$${\log }_6\frac{1}{7}<{\log }_6\frac{1}{6}<{\log }_{6}35,\text{то есть}{\log }_6\frac{1}{7}<-1<{\log }_{6}35.$$

Корень $-1$ лежит на отрезке.

Для корня $2$: так как $36>35$, то ${\log }_{6}36>{\log }_{6}35$, то есть $2>{\log }_{6}35$. Корень правее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $-1$; $2$; б) $-1$.