ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Применим к каждому множителю левой части формулу понижения степени ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$:

$${\cos }^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)}{2},{\cos }^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)}{2}.$$

По формулам приведения $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$, а $\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ (косинус — чётная функция). Тогда левая часть равна

$$3\cdot \frac{1-\sin x}{2}\cdot \frac{1+\sin x}{2}=\frac{3\left(1-{\sin }^{2}x\right)}{4}=\frac{3{\cos }^{2}x}{4},$$

где мы воспользовались формулой разности квадратов и основным тригонометрическим тождеством $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$. Уравнение принимает вид

$$\frac{3{\cos }^{2}x}{4}={\cos }^{4}x\iff 4{\cos }^{4}x-3{\cos }^{2}x=0\iff {\cos }^{2}x\left(4{\cos }^{2}x-3\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Если ${\cos }^{2}x=0$, то $\cos x=0$ и $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Во втором множителе снова понизим степень: $4{\cos }^{2}x=4\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=2+2\cos 2x$, поэтому $4{\cos }^{2}x-3=2\cos 2x-1$. Тогда

$$2\cos 2x-1=0\iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Итак, решения уравнения:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отрезок $[3\pi ;4\pi ]$ на окружности — это нижняя полуокружность: начало $3\pi =2\pi +\pi$ изображается левой точкой, конец $4\pi$ — правой, между ними III и IV четверти.

Найдём корни каждой серии двойными неравенствами относительно целого $k$. В каждом неравенстве делим все части на $\pi >0$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$:

$$3\pi ⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽4\pi \iff 3⩽\frac{1}{2}+k⩽4\iff \frac{5}{2}⩽k⩽\frac{7}{2}.$$

Единственное целое решение $k=3$ даёт корень $x=\frac{\pi }{2}+3\pi =\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$:

$$3\pi ⩽\frac{\pi }{6}+\pi k⩽4\pi \iff 3⩽\frac{1}{6}+k⩽4\iff \frac{17}{6}⩽k⩽\frac{23}{6}.$$

Так как $\frac{17}{6}=2\frac{5}{6}$ и $\frac{23}{6}=3\frac{5}{6}$, единственное целое решение $k=3$ даёт корень $x=\frac{\pi }{6}+3\pi =\frac{19\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$:

$$3\pi ⩽-\frac{\pi }{6}+\pi k⩽4\pi \iff 3⩽-\frac{1}{6}+k⩽4\iff \frac{19}{6}⩽k⩽\frac{25}{6}.$$

Так как $\frac{19}{6}=3\frac{1}{6}$ и $\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}$, единственное целое решение $k=4$ даёт корень $x=-\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{23\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}$, $\frac{23\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}$, $\frac{23\pi }{6}$.