ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Выразим все степени через $2^x$. По свойствам степени

$$8^x={\left(2^3\right)}^x={\left(2^x\right)}^3,4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2,2^{x+4}=2^4\cdot 2^x=16\cdot 2^x.$$

Сделаем замену $t=2^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем кубическое уравнение

$$t^3-7t^2-16t+112=0.$$

Разложим левую часть на множители группировкой: из первых двух слагаемых вынесем $t^2$, из последних двух вынесем $-16$ (заметим, что $112=16\cdot 7$):

$$t^2(t-7)-16(t-7)=0\iff (t-7)\left(t^2-16\right)=0\iff (t-7)(t-4)(t+4)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $t=7$, $t=4$ или $t=-4$. Значение $t=-4$ не удовлетворяет условию $t>0$, то есть уравнение $2^x=-4$ решений не имеет.

Сделаем обратную замену.

Если $t=4$, то $2^x=4=2^2$. Функция $y=2^x$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях: $x=2$.

Если $t=7$, то $2^x=7$, и по определению логарифма $x={\log }_{2}7$.

б) Чтобы сравнить корни с концами отрезка $\left[{\log }_{2}5;{\log }_{2}11\right]$, воспользуемся тем, что основание $2>1$, поэтому функция $y={\log }_{2}t$ возрастает: из $a<b$ (при $a,b>0$) следует ${\log }_{2}a<{\log }_{2}b$.

Для корня $2$ запишем его как логарифм: $2={\log }_2{2}^2={\log }_{2}4$. Так как $4<5$, то ${\log }_{2}4<{\log }_{2}5$, то есть $2<{\log }_{2}5$. Корень левее отрезка и не подходит.

Для корня ${\log }_{2}7$: так как $5<7<11$, то ${\log }_{2}5<{\log }_{2}7<{\log }_{2}11$. Корень лежит на отрезке.

Ответ: а) $2$; ${\log }_{2}7$; б) ${\log }_{2}7$.