ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим уравнение формулами приведения. Угол $2x+\pi$ при остром $2x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен, поэтому $\sin (2x+\pi )=-\sin 2x$. Число $2\pi$ — период синуса, поэтому $\sin (x+2\pi )=\sin x$. Уравнение принимает вид

$$2{\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin 2x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}\cos x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Перенесём всё в левую часть:

$$2{\sin }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{6}\cos x=0.$$

Заметим, что $\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$$2\sin x\left(\sin x-\sqrt{3}\cos x\right)+\sqrt{2}\left(\sin x-\sqrt{3}\cos x\right)=0\iff \left(\sin x-\sqrt{3}\cos x\right)\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый множитель: $\sin x=\sqrt{3}\cos x$. Если $\cos x=0$, то и $\sin x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому делим на $\cos x$:

$$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Второй множитель:

$$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$ изображается нижней точкой окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ — это точка $\frac{\pi }{3}$ в I четверти и противоположная ей точка $\frac{4\pi }{3}$ в III четверти. III четверть на дугу не входит. Точке I четверти соответствует число $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$. Проверим со знаменателем 6: $\frac{9\pi }{6}⩽\frac{14\pi }{6}⩽\frac{18\pi }{6}$. Соседние значения $\frac{4\pi }{3}=\frac{8\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$ и $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}>\frac{18\pi }{6}$ — вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в IV четверти, она на дуге. Ей соответствует число $2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$. Проверим со знаменателем 4: $\frac{6\pi }{4}⩽\frac{7\pi }{4}⩽\frac{12\pi }{4}$. Соседние значения $-\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{15\pi }{4}>3\pi$ — вне отрезка.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в III четверти, которая на дугу не входит: ближайшие значения $\frac{5\pi }{4}<\frac{6\pi }{4}$ и $\frac{13\pi }{4}>\frac{12\pi }{4}$.

На отрезке лежат корни $\frac{7\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{3}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+\pi k$, $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{3}$.