ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x.$$

По формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$: угол $\pi -\alpha$ при остром $\alpha$ лежит во II четверти, где синус положителен. Подставим оба выражения в уравнение:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)-2\sqrt{3}\sin x=0\iff \sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}\sin x=0\iff \cos x-\sqrt{3}\sin x=0.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Покажем, что на его решениях $\cos x\ne 0$. Если $\cos x=0$, то из уравнения $\sqrt{3}\sin x=0$, то есть и $\sin x=0$. Но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому деление обеих частей на $\sqrt{3}\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[7\pi ;\frac{17\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $7\pi =6\pi +\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $\frac{17\pi }{2}=8\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $7\pi =\frac{42\pi }{6}$, $\frac{17\pi }{2}=\frac{51\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ — это точка $\frac{\pi }{6}$ в I четверти и противоположная ей точка $\frac{7\pi }{6}$ в III четверти. Обе лежат на дуге. Точке III четверти соответствует число $6\pi +\frac{7\pi }{6}=\frac{43\pi }{6}$, точке I четверти — число $8\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{49\pi }{6}$. Оба числа лежат между $\frac{42\pi }{6}$ и $\frac{51\pi }{6}$. Соседние значения серии $\frac{37\pi }{6}<7\pi$ и $\frac{55\pi }{6}>\frac{17\pi }{2}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $\frac{43\pi }{6}$, $\frac{49\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{43\pi }{6}$, $\frac{49\pi }{6}$.