ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение имеет вид «дробь равна нулю». Такая дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Упростим по отдельности числитель и знаменатель.

Числитель. Синус — нечётная функция, поэтому $\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$, а по формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\cos 2x$. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$. Значит,

$$-\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x.$$

Тогда числитель равен

$${\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x={\sin }^{4}x-{\sin }^{2}x={\sin }^{2}x\left({\sin }^{2}x-1\right).$$

Знаменатель. Обозначим $y=\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}$. Так как синус нечётен, $\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{\pi }{4}\right)=-\sin y$, и после возведения в квадрат знак пропадает: ${\sin }^2\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^{2}y$. По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}y=1-{\cos }^{2}y$, поэтому знаменатель равен

$$2\left(1-{\cos }^{2}y\right)+3\cos y-2=3\cos y-2{\cos }^{2}y=\cos y\left(3-2\cos y\right).$$

Косинус не превосходит 1, поэтому $3-2\cos y⩾3-2=1>0$. Значит, знаменатель обращается в ноль только при $\cos y=0$, и условие «знаменатель не равен нулю» равносильно условию $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)\ne 0$.

Получаем, что исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{\sin }^{2}x\left({\sin }^{2}x-1\right)=0,\\ \cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)\ne 0.\end{array}$$

Найдём, какие $x$ исключает второе условие. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi }{2}+\pi n$:

$$\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\ne \frac{\pi }{2}+\pi n\iff -\frac{x}{4}\ne \frac{\pi }{4}+\pi n\iff x\ne -\pi -4\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Когда $n$ пробегает все целые числа, $-4\pi n$ пробегает все числа вида $4\pi m$, поэтому ограничение можно записать так: $x\ne -\pi +4\pi m$, $m\in \mathbb{Z}$. Это числа $\dots ,-5\pi ,-\pi ,3\pi ,7\pi ,\dots$

Решим первое уравнение системы. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}{\sin }^{2}x=0,\\ {\sin }^{2}x=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\pm 1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Теперь уберём из найденных серий значения $x=-\pi +4\pi m$. Все эти значения — нечётные кратные $\pi$, поэтому серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ (нечётные кратные $\frac{\pi }{2}$) их не содержит и остаётся целиком.

Серию $x=\pi k$ разобьём по остатку $k$ при делении на 4:

$$x=2\pi k,x=\pi +4\pi k,x=3\pi +4\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Чётные кратные $\pi$, то есть $x=2\pi k$, под ограничение не попадают. Серия $x=3\pi +4\pi k=-\pi +4\pi (k+1)$ целиком совпадает с исключёнными значениями, её отбрасываем. Серия $x=\pi +4\pi k$ с ними не пересекается: равенство $\pi +4\pi k=-\pi +4\pi m$ означало бы $m-k=\frac{1}{2}$, что невозможно для целых чисел.

Итак, решения уравнения:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=2\pi k,\\ x=\pi +4\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Заметим, что из-за периода $4\pi$ у исключённых значений отбор на одной окружности здесь неудобен: левая точка окружности то подходит ($x=\pi$), то нет ($x=3\pi$). Поэтому отбирать корни будем двойными неравенствами.

б) Длина отрезка $[0;4\pi ]$ равна $4\pi$, это больше полного оборота, поэтому для каждой серии решим двойное неравенство относительно целого $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Разделим все части неравенства на $\pi >0$ и вычтем $\frac{1}{2}$:

$$0⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽4\pi \iff 0⩽\frac{1}{2}+k⩽4\iff -\frac{1}{2}⩽k⩽\frac{7}{2}.$$

Целые решения $k=0,1,2,3$ дают корни $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=2\pi k$:

$$0⩽2\pi k⩽4\pi \iff 0⩽k⩽2.$$

Целые решения $k=0,1,2$ дают корни $0$, $2\pi$, $4\pi$.

Серия $x=\pi +4\pi k$:

$$0⩽\pi +4\pi k⩽4\pi \iff 0⩽1+4k⩽4\iff -\frac{1}{4}⩽k⩽\frac{3}{4}.$$

Единственное целое решение $k=0$ даёт корень $\pi$.

Значение $3\pi$ тоже лежит на отрезке и обнуляет числитель, но в нём знаменатель равен нулю: $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0$. Поэтому корнем оно не является — именно его мы исключили в пункте а).

На отрезке лежат корни $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$, $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{2}$, $4\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $2\pi k$, $\pi +4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$, $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{2}$, $4\pi$.