ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Тангенс и дробь $\frac{5}{\cos x}$ определены только при $\cos x\ne 0$ — это ОДЗ уравнения.

По определению тангенса и основному тригонометрическому тождеству

$${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}.$$

Подставим это в уравнение и приведём все слагаемые к общему знаменателю ${\cos }^{2}x$:

$$\frac{2-2{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{5\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{4{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0\iff \frac{2{\cos }^{2}x+5\cos x+2}{{\cos }^{2}x}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}2{\cos }^{2}x+5\cos x+2=0,\\ \cos x\ne 0.\end{array}$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+5t+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9=3^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-5-3}{4}=-2,t_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Значение $t_1=-2$ не подходит: косинус по модулю не превосходит 1, и уравнение $\cos x=-2$ решений не имеет. Значение $t_2=-\frac{1}{2}$ не равно нулю, поэтому условие $\cos x\ne 0$ выполнено:

$$\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $3\pi =2\pi +\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $3\pi =\frac{18\pi }{6}$, $\frac{9\pi }{2}=\frac{27\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку во II четверти, которая на дугу не входит: ближайшие значения $\frac{8\pi }{3}=\frac{16\pi }{6}<\frac{18\pi }{6}$ и $\frac{14\pi }{3}=\frac{28\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в III четверти, она на дуге. Ей соответствует число $4\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}$, и $\frac{18\pi }{6}⩽\frac{20\pi }{6}⩽\frac{27\pi }{6}$. Соседние значения $\frac{4\pi }{3}<3\pi$ и $\frac{16\pi }{3}>\frac{9\pi }{2}$ — вне отрезка.

На отрезке лежит корень $\frac{10\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{10\pi }{3}$.