ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Преобразуем правую часть по формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, учитывая, что $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sin x+\cos x,$$

так как $\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$. Уравнение принимает вид

$${\cos }^{2}x+\sin x=\sin x+\cos x.$$

Слагаемое $\sin x$ стоит в обеих частях, вычтем его и вынесем $\cos x$ за скобки:

$${\cos }^{2}x-\cos x=0\iff \cos x\left(\cos x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-4\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти.

Серия $x=2\pi k$ — это правая точка окружности, начало дуги. Ей соответствует число $-4\pi$. Соседние значения $-6\pi <-4\pi$ и $-2\pi =-\frac{4\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — это верхняя и нижняя точки окружности, обе лежат на дуге. Верхней точке соответствует число $-4\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{7\pi }{2}$, нижней — $-4\pi +\frac{3\pi }{2}=-\frac{5\pi }{2}$, это конец отрезка. Проверим со знаменателем 2: $-\frac{8\pi }{2}⩽-\frac{7\pi }{2}⩽-\frac{5\pi }{2}$. Соседние значения $-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-4\pi$, $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$, $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{2}$.