ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$

По формуле приведения $\sin (\pi +x)=-\sin x$: угол $\pi +\alpha$ при остром $\alpha$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. Подставим оба выражения в уравнение:

$$2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)-\sin x=0\iff \sin x+\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\iff \sqrt{3}\cos x=0.$$

Разделим обе части на $\sqrt{3}\ne 0$:

$$\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — это верхняя и нижняя точки окружности, обе лежат на дуге. Нижней точке соответствует число $\frac{3\pi }{2}$, верхней — $\frac{5\pi }{2}$, это конец отрезка. Проверим со знаменателем 2: $\frac{2\pi }{2}⩽\frac{3\pi }{2}⩽\frac{5\pi }{2}$. Соседние значения серии $\frac{\pi }{2}<\pi$ и $\frac{7\pi }{2}>\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$.