ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Приведём все степени к основанию 2. По свойству степени степени $(a^n{)}^m=a^{nm}$ получаем $8^{\cos 2x}={\left(2^3\right)}^{\cos 2x}=2^{3\cos 2x}$, а по свойству степени с отрицательным показателем $\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

$$2^{\sin x}\cdot 2^{3\cos 2x}=2^{-4}\iff 2^{\sin x+3\cos 2x}=2^{-4}.$$

Функция $y=2^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$\sin x+3\cos 2x=-4.$$

Чтобы получить уравнение с одной функцией, применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$:

$$\sin x+3\left(1-2{\sin }^{2}x\right)=-4\iff \sin x+3-6{\sin }^{2}x+4=0\iff 6{\sin }^{2}x-\sin x-7=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$6t^2-t-7=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot (-7)=1+168=169=13^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{1-13}{12}=-1,t_2=\frac{1+13}{12}=\frac{7}{6}.$$

Значение $t_2=\frac{7}{6}>1$ не подходит: синус по модулю не превосходит 1, и уравнение $\sin x=\frac{7}{6}$ решений не имеет. Остаётся

$$\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $[-7\pi ;-6\pi ]$ равна $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-7\pi =-8\pi +\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $-6\pi$ — правой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим нижнюю полуокружность, то есть III и IV четверти.

Серия $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ — это нижняя точка окружности, она лежит на дуге. Ей соответствует число $-6\pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{13\pi }{2}$. Проверим со знаменателем 2: $-\frac{14\pi }{2}⩽-\frac{13\pi }{2}⩽-\frac{12\pi }{2}$. Соседние значения $-\frac{17\pi }{2}<-7\pi$ и $-\frac{9\pi }{2}>-6\pi$ — вне отрезка.

На отрезке лежит корень $-\frac{13\pi }{2}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{13\pi }{2}$.