ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos (\pi -x)=-\cos x$: угол $\pi -\alpha$ при остром $\alpha$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим:

$$2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-4\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $-4\pi =-\frac{24\pi }{6}$, $-\frac{5\pi }{2}=-\frac{15\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — это верхняя и нижняя точки окружности, обе лежат на дуге. Верхней точке соответствует $-4\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{7\pi }{2}=-\frac{21\pi }{6}$, нижней — $-4\pi +\frac{3\pi }{2}=-\frac{5\pi }{2}$, это конец отрезка. Соседние значения серии $-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в IV четверти, которая на дугу не входит: ближайшие значения $-\frac{13\pi }{3}=-\frac{26\pi }{6}<-\frac{24\pi }{6}$ и $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{14\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в III четверти, она на дуге. Ей соответствует число $-4\pi +\frac{4\pi }{3}=-\frac{8\pi }{3}=-\frac{16\pi }{6}$, и $-\frac{24\pi }{6}⩽-\frac{16\pi }{6}⩽-\frac{15\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{14\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{2\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{2}$.