ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin (\pi +2x)=-\sin 2x$: угол $\pi +\alpha$ при остром $\alpha$ лежит в III четверти, где синус отрицателен, а название функции не меняется. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Кроме того, $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$. Уравнение принимает вид

$$\sqrt{10}-\sqrt{2}\sin x=2\sqrt{5}\cos x-2\sin x\cos x.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\sqrt{10}-\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{5}\cos x+2\sin x\cos x=0.$$

Заметим, что $\sqrt{10}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}$. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$$\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sin x\right)-2\cos x\left(\sqrt{5}-\sin x\right)=0\iff \left(\sqrt{5}-\sin x\right)\left(\sqrt{2}-2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=\sqrt{5},\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Значения синуса не превосходят 1 по модулю, а $\sqrt{5}>\sqrt{1}=1$, поэтому уравнение $\sin x=\sqrt{5}$ решений не имеет. Из второго уравнения

$$x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $[4\pi ;5\pi ]$ равна $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $4\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $5\pi =4\pi +\pi$ — левой точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим верхнюю полуокружность, то есть I и II четверти.

Концы отрезка со знаменателем 4: $4\pi =\frac{16\pi }{4}$, $5\pi =\frac{20\pi }{4}$.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в I четверти, она на дуге. Ей соответствует число $4\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{17\pi }{4}$, и $\frac{16\pi }{4}⩽\frac{17\pi }{4}⩽\frac{20\pi }{4}$. Соседние значения $\frac{9\pi }{4}<4\pi$ и $\frac{25\pi }{4}>5\pi$ — вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в IV четверти, которая на дугу не входит: ближайшие значения $\frac{15\pi }{4}<\frac{16\pi }{4}$ и $\frac{23\pi }{4}>\frac{20\pi }{4}$.

На отрезке лежит корень $\frac{17\pi }{4}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{17\pi }{4}$.