ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Логарифм определён, когда его аргумент положителен, то есть ОДЗ задаётся условием $x^2-2x>0$.

По определению логарифма ${\log }_{3}A=1$ равносильно $A=3^1=3$. На решениях этого равенства аргумент равен $3>0$, поэтому условие ОДЗ выполняется автоматически, и решать неравенство $x^2-2x>0$ отдельно не нужно:

$${\log }_3\left(x^2-2x\right)=1\iff x^2-2x=3\iff x^2-2x-3=0.$$

Выделим полный квадрат: $x^2-2x+1=4$, то есть $(x-1{)}^2=2^2$. Перенесём всё влево и разложим разность квадратов:

$$(x-1{)}^2-2^2=0\iff (x-1-2)(x-1+2)=0\iff (x-3)(x+1)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $x=3$ или $x=-1$.

Проверка: $3^2-2\cdot 3=3$ и $(-1{)}^2-2\cdot (-1)=3$, так что в обоих случаях аргумент логарифма равен 3 и уравнение выполняется.

б) Чтобы сравнить корни с концами отрезка $\left[{\log }_{2}0,4;{\log }_{2}5\right]$, запишем корни тоже как логарифмы по основанию 2:

$$3={\log }_2{2}^3={\log }_{2}8,-1={\log }_2{2}^{-1}={\log }_{2}0,5.$$

Основание $2>1$, поэтому функция $y={\log }_{2}t$ возрастает: из $a<b$ (при $a,b>0$) следует ${\log }_{2}a<{\log }_{2}b$.

Для корня $3$: так как $8>5$, то ${\log }_{2}8>{\log }_{2}5$, то есть $3>{\log }_{2}5$. Корень правее отрезка и не подходит.

Для корня $-1$: так как $0,4<0,5<5$, то

$${\log }_{2}0,4<{\log }_{2}0,5<{\log }_{2}5,\text{то есть}{\log }_{2}0,4<-1<{\log }_{2}5.$$

Корень $-1$ лежит на отрезке.

Ответ: а) $-1$; $3$; б) $-1$.