ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$: косинус существует при любом $x$, а показательная функция $4^u$ определена при любом показателе.

По свойству степени с отрицательным показателем $4^{-\cos x}=\frac{1}{4^{\cos x}}$. Сделаем замену $t=4^{\cos x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Уравнение принимает вид

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$

Умножим обе части на $2t$. Так как $t>0$, этот множитель не равен нулю, и переход равносилен:

$$2t^2+2=5t\iff 2t^2-5t+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9=3^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

Оба корня положительны, поэтому оба удовлетворяют условию $t>0$.

Сделаем обратную замену. Чтобы сравнивать степени с одинаковым основанием, перейдём к основанию 2: $4^{\cos x}={\left(2^2\right)}^{\cos x}=2^{2\cos x}$, $2=2^1$, $\frac{1}{2}=2^{-1}$. Функция $y=2^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$[\begin{array}{l}{2}^{2\cos x}=2^{-1},\\ 2^{2\cos x}=2^1\end{array}\iff [\begin{array}{l}2\cos x=-1,\\ 2\cos x=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=-\frac{1}{2},\\ \cos x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Решим каждое простейшее уравнение:

$$[\begin{array}{l}x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Эти четыре серии можно записать короче. На окружности им соответствуют точки $\frac{\pi }{3}$, $\frac{2\pi }{3}$, $-\frac{2\pi }{3}$, $-\frac{\pi }{3}$, и они разбиваются на пары диаметрально противоположных: $\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3}$ и $-\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{2\pi }{3}$. Две противоположные точки описываются одной серией с периодом $\pi$, поэтому

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-3\pi =-4\pi +\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $-3\pi =-\frac{18\pi }{6}$, $-\frac{3\pi }{2}=-\frac{9\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ — это точка $\frac{\pi }{3}$ в I четверти и противоположная ей точка в III четверти. Обе лежат на дуге. Точке III четверти соответствует число $-3\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{8\pi }{3}=-\frac{16\pi }{6}$, точке I четверти — число $-2\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{5\pi }{3}=-\frac{10\pi }{6}$. Оба числа лежат между $-\frac{18\pi }{6}$ и $-\frac{9\pi }{6}$. Соседние значения серии $-\frac{11\pi }{3}<-3\pi$ и $-\frac{2\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ — это точка $-\frac{\pi }{3}$ в IV четверти и противоположная ей точка во II четверти. II четверть на дугу не входит, а точке IV четверти соответствует число $-2\pi -\frac{\pi }{3}=-\frac{7\pi }{3}=-\frac{14\pi }{6}$, и $-\frac{18\pi }{6}⩽-\frac{14\pi }{6}⩽-\frac{9\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{10\pi }{3}<-3\pi$ и $-\frac{4\pi }{3}=-\frac{8\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{7\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{7\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{3}$.