ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$: показательная функция определена для любого показателя.

Запишем все слагаемые через $2^x$ по свойствам степени:

$$8^x={\left(2^3\right)}^x={\left(2^x\right)}^3,2^{x+1}=2\cdot 2^x,2^{5-x}=\frac{2^5}{2^x}=\frac{32}{2^x}.$$

Сделаем замену $t=2^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$:

$$t^3-18t+\frac{32}{t}=0.$$

Умножим обе части на $t$. Так как $t>0$, переход равносилен:

$$t^4-18t^2+32=0.$$

Это биквадратное уравнение: оно квадратное относительно $u=t^2$, где $u>0$:

$$u^2-18u+32=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=18^2-4\cdot 32=324-128=196=14^2.$$

Корни:

$$u_1=\frac{18+14}{2}=16,u_2=\frac{18-14}{2}=2.$$

Оба значения положительны. Вернёмся к $t$: $t^2=16$ или $t^2=2$. С учётом $t>0$ получаем $t=4$ или $t=\sqrt{2}$.

Сделаем обратную замену, записав правые части степенями двойки:

$$[\begin{array}{l}{2}^x=4=2^2,\\ 2^x=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}.\end{array}$$

Функция $y=2^x$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$[\begin{array}{l}x=2,\\ x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

б) Сравним корни с концами промежутка $[{\log }_{5}2;{\log }_{5}20]$. Функция $y={\log }_{5}t$ возрастает (основание $5>1$), поэтому из двух логарифмов по основанию 5 больше тот, у которого больше аргумент. Запишем каждый корень как логарифм по основанию 5.

Корень $\frac{1}{2}$: так как $5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$, имеем $\frac{1}{2}={\log }_5\sqrt{5}$. Сравним аргументы: $2<\sqrt{5}$, потому что $2^2=4<5$, и $\sqrt{5}<20$. Значит,

$${\log }_{5}2<{\log }_5\sqrt{5}<{\log }_{5}20\iff {\log }_{5}2<\frac{1}{2}<{\log }_{5}20,$$

и корень $\frac{1}{2}$ лежит в промежутке.

Корень $2$: имеем $2={\log }_5{5}^2={\log }_{5}25$. Так как $25>20$, то

$${\log }_{5}25>{\log }_{5}20\iff 2>{\log }_{5}20,$$

и корень $2$ в промежуток не попадает.

Ответ: а) $\frac{1}{2}$; $2$; б) $\frac{1}{2}$.