ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ. Тангенс определён, когда $\cos x\ne 0$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5\sin x⩾0$, то есть $\sin x⩾0$. Итак,

$$\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0,\\ \sin x⩾0.\end{array}$$

На ОДЗ оба множителя определены, поэтому произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а $x$ принадлежит ОДЗ:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}1-{\mathrm{tg}}^{2}x=0,\\ \sin x⩾0,\end{array}\\ \{\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x\ne 0.\end{array}\end{array}$$

Решим вторую систему. Из $\sin x=0$ получаем $x=\pi k$. В этих точках (правая и левая точки окружности) $\cos x=\pm 1\ne 0$, условие выполнено. Значит, $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$ — решения.

Решим первую систему:

$$1-{\mathrm{tg}}^{2}x=0\iff \mathrm{tg}x=\pm 1.$$

Здесь $\cos x\ne 0$ выполнено автоматически, раз тангенс существует. Значения $\mathrm{tg}x=\pm 1$ дают четыре точки окружности — середины четвертей: $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$. Условию $\sin x⩾0$ удовлетворяют только точки верхней полуокружности: $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть). В точках $\frac{5\pi }{4}$ и $\frac{7\pi }{4}$ синус отрицателен, они не входят в ОДЗ. Получаем $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ и $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$.

Все решения уравнения:

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит III, IV и I четверти. На ней лежат левая точка (начало дуги), правая точка и точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти. Точка $\frac{3\pi }{4}$ из II четверти дугой не покрыта.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ и $-2\pi$: соседние значения $-4\pi <-3\pi$ и $-\pi >-\frac{3\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{7\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{15\pi }{4}<-\frac{12\pi }{4}=-3\pi$ и $\frac{\pi }{4}>-\frac{3\pi }{2}$. Сам корень лежит на отрезке: $-\frac{12\pi }{4}⩽-\frac{7\pi }{4}⩽-\frac{6\pi }{4}$.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{13\pi }{4}<-\frac{12\pi }{4}=-3\pi$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{4}>-\frac{6\pi }{4}=-\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-3\pi$, $-2\pi$, $-\frac{7\pi }{4}$.

Ответ: а) $\pi k$; $\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-2\pi$; $-\frac{7\pi }{4}$.