ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Левая часть — разность квадратов: $a^4-b^4=\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)$. Поэтому

$${\sin }^4\frac{x}{4}-{\cos }^4\frac{x}{4}=\left({\sin }^2\frac{x}{4}+{\cos }^2\frac{x}{4}\right)\left({\sin }^2\frac{x}{4}-{\cos }^2\frac{x}{4}\right).$$

По основному тригонометрическому тождеству первая скобка равна 1. Вторая скобка по формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ при $\alpha =\frac{x}{4}$ равна

$${\sin }^2\frac{x}{4}-{\cos }^2\frac{x}{4}=-\cos \frac{x}{2}.$$

Правую часть упростим по формуле приведения. Косинус чётен, поэтому $\cos \left(x-\frac{3\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)$. От угла $\frac{3\pi }{2}$ косинус меняется на синус, а угол $\frac{3\pi }{2}-x$ при малых $x>0$ лежит в III четверти, где косинус отрицателен. Значит, $\cos \left(x-\frac{3\pi }{2}\right)=-\sin x$.

Уравнение принимает вид

$$-\cos \frac{x}{2}=-\sin x\iff \cos \frac{x}{2}=\sin x.$$

Чтобы в уравнении был один аргумент, распишем $\sin x$ по формуле синуса двойного угла с $\alpha =\frac{x}{2}$: $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$. Тогда

$$\cos \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0\iff \cos \frac{x}{2}\left(1-2\sin \frac{x}{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos \frac{x}{2}=0,\\ \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Решим каждое уравнение относительно $\frac{x}{2}$, а затем умножим на 2 (при этом период тоже удваивается):

$$[\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ \frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ \frac{x}{2}=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi +2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+4\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{3}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $[-4\pi ;-\pi ]$ равна $3\pi >2\pi$, к тому же две серии имеют период $4\pi$, поэтому окружность не подходит — отберём корни двойными неравенствами. В каждой серии подставим $x$ в неравенство $-4\pi ⩽x⩽-\pi$, разделим на $\pi$ и найдём целые $k$.

Серия $x=\pi +2\pi k$:

$$-4\pi ⩽\pi +2\pi k⩽-\pi \iff -5⩽2k⩽-2\iff -2,5⩽k⩽-1.$$

Подходят $k=-2$ и $k=-1$, получаем $x=\pi -4\pi =-3\pi$ и $x=\pi -2\pi =-\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+4\pi k$:

$$-4\pi ⩽\frac{\pi }{3}+4\pi k⩽-\pi \iff -4-\frac{1}{3}⩽4k⩽-1-\frac{1}{3}\iff -\frac{13}{12}⩽k⩽-\frac{1}{3}.$$

Подходит только $k=-1$, получаем $x=\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{11\pi }{3}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{3}+4\pi k$:

$$-4\pi ⩽\frac{5\pi }{3}+4\pi k⩽-\pi \iff -4-\frac{5}{3}⩽4k⩽-1-\frac{5}{3}\iff -\frac{17}{12}⩽k⩽-\frac{2}{3}.$$

Подходит только $k=-1$, получаем $x=\frac{5\pi }{3}-4\pi =-\frac{7\pi }{3}$.

Расположим найденные корни по возрастанию: $-\frac{11\pi }{3}<-3\pi <-\frac{7\pi }{3}<-\pi$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$; $\frac{\pi }{3}+4\pi k$; $\frac{5\pi }{3}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{3}$; $-3\pi$; $-\frac{7\pi }{3}$; $-\pi$.