ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\sin x$: от угла $\frac{3\pi }{2}$ на вертикальной оси косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен. Значит, ${\cos }^2\left(\frac{3\pi }{2}+x\right)={\sin }^{2}x$, и уравнение принимает вид

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$:

$$\sin x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi k$. Ординату $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеют точка $-\frac{\pi }{3}$ в IV четверти и точка $-\frac{2\pi }{3}$ в III четверти. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит II, III и IV четверти. На ней лежат левая точка, точка III четверти, точка IV четверти и правая точка (конец дуги).

Найдём соответствующие числа. Левая точка — $2\pi +\pi =3\pi$, точка III четверти — $4\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}$, точка IV четверти — $4\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$, правая точка — $4\pi$. Проверим, что числа лежат на отрезке: $\frac{5\pi }{2}=\frac{15\pi }{6}⩽\frac{18\pi }{6}<\frac{20\pi }{6}<\frac{22\pi }{6}<\frac{24\pi }{6}=4\pi$.

Соседние значения вне отрезка: в серии $\pi k$ это $2\pi <\frac{5\pi }{2}$ и $5\pi >4\pi$; в серии $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ это $\frac{4\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{16\pi }{3}>4\pi$; в серии $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ это $\frac{5\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{3}>4\pi$.

На отрезке лежат $3\pi$, $\frac{10\pi }{3}$, $\frac{11\pi }{3}$, $4\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$; $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $3\pi$; $\frac{10\pi }{3}$; $\frac{11\pi }{3}$; $4\pi$.