ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Разделим обе части на 2 и применим формулу приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}\sin x=0.$$

По формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x.$$

Подставим и приведём подобные:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x-\sqrt{3}\sin x=0\iff \frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=0\iff \cos x-\sqrt{3}\sin x=0.$$

Получили однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$1-\sqrt{3}\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{tg}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\iff x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности серия даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{6}$ в I четверти и $\frac{7\pi }{6}$ в III четверти.

б) Длина отрезка $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит IV, I и II четверти. Точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти на ней лежит, а точка $\frac{7\pi }{6}$ из III четверти — нет.

Точке I четверти на этой дуге соответствует само число $\frac{\pi }{6}$ (при $k=0$): $-\frac{\pi }{2}⩽\frac{\pi }{6}⩽\pi$. Соседние значения серии вне отрезка: $-\frac{5\pi }{6}<-\frac{3\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{6}>\pi$.

На отрезке лежит $\frac{\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi }{6}$.