ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}+2x\right)=-\sin 2x$: от угла $\frac{\pi }{2}$ на вертикальной оси косинус меняется на синус, а угол $\frac{\pi }{2}+\alpha$ при малом $\alpha >0$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Кроме того, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид

$$-2\sin x\cos x+2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\cos x$:

$$2\cos x\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sqrt{3}\cos x-\sin x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение однородное первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не обращаются в нуль одновременно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях второго уравнения $\cos x\ne 0$, и деление на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\sqrt{3}-\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{tg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

На окружности первая серия — верхняя и нижняя точки, вторая — точки $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $\frac{4\pi }{3}$ (III четверть).

б) Длина отрезка $\left[\frac{11\pi }{4};\frac{17\pi }{4}\right]$ равна $\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $\frac{11\pi }{4}=2\pi +\frac{3\pi }{4}$ — середина II четверти, конец $\frac{17\pi }{4}=4\pi +\frac{\pi }{4}$ — середина I четверти. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через левую точку, III четверть, нижнюю точку, IV четверть, правую точку и заканчивается в середине I четверти. Вне дуги остаётся только участок от $\frac{\pi }{4}$ до $\frac{3\pi }{4}$ — на нём лежат верхняя точка и точка $\frac{\pi }{3}$. Значит, на дугу попадают только нижняя точка и точка $\frac{4\pi }{3}$.

Найдём соответствующие числа: точке $\frac{4\pi }{3}$ соответствует $2\pi +\frac{4\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}$, нижней точке — $2\pi +\frac{3\pi }{2}=\frac{7\pi }{2}$. Проверим, приведя к знаменателю 12:

$$\frac{33\pi }{12}⩽\frac{40\pi }{12}<\frac{42\pi }{12}⩽\frac{51\pi }{12}.$$

Соседние значения серий вне отрезка: в серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$ это $\frac{5\pi }{2}=\frac{30\pi }{12}<\frac{33\pi }{12}$ и $\frac{9\pi }{2}=\frac{54\pi }{12}>\frac{51\pi }{12}$; в серии $\frac{\pi }{3}+\pi k$ это $\frac{7\pi }{3}=\frac{28\pi }{12}<\frac{33\pi }{12}$ и $\frac{13\pi }{3}=\frac{52\pi }{12}>\frac{51\pi }{12}$.

На отрезке лежат $\frac{10\pi }{3}$ и $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{10\pi }{3}$; $\frac{7\pi }{2}$.