ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$, поэтому $4\sin 2x=8\sin x\cos x$:

$$8\sin x\cos x-4\sqrt{3}\sin x+12\cos x-6\sqrt{3}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Из первой пары вынесем $4\sin x$, из второй — $6$:

$$4\sin x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)+6\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $2\cos x-\sqrt{3}$:

$$\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)\left(4\sin x+6\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \sin x=-\frac{3}{2}.\end{array}$$

Второе уравнение решений не имеет: $-\frac{3}{2}<-1$, а синус принимает значения только из отрезка $[-1;1]$.

Абсциссу $\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеют точка $\frac{\pi }{6}$ в I четверти и точка $-\frac{\pi }{6}$ в IV четверти:

$$x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-4\pi$ — правая точка, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I, II и III четверти. Точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти на ней лежит, а точка $-\frac{\pi }{6}$ из IV четверти — нет.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-4\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{23\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{35\pi }{6}<-\frac{24\pi }{6}=-4\pi$ и $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$. Сам корень лежит на отрезке: $-\frac{24\pi }{6}⩽-\frac{23\pi }{6}⩽-\frac{15\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{25\pi }{6}<-\frac{24\pi }{6}=-4\pi$, а следующее значение $-\frac{13\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$.

На отрезке лежит $-\frac{23\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{23\pi }{6}$.