ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x$: от угла $\frac{3\pi }{2}$ на вертикальной оси синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где синус отрицателен. По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Подставим:

$$4\left(1-{\cos }^{2}x\right)-\cos x+1=0\iff -4{\cos }^{2}x-\cos x+5=0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$4{\cos }^{2}x+\cos x-5=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2+t-5=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=1^2+4\cdot 4\cdot 5=1+80=81=9^2.$$

Корни:

$$t_1=\frac{-1+9}{8}=1,t_2=\frac{-1-9}{8}=-\frac{5}{4}.$$

Корень $t_2=-\frac{5}{4}<-1$ не подходит: косинус не бывает меньше $-1$. Сделаем обратную замену для $t_1$:

$$\cos x=1\iff x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Косинус равен 1 только в правой точке окружности, поэтому серия одна, с периодом $2\pi$.

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит III, IV и I четверти и проходит через правую точку окружности.

Правой точке на этой дуге соответствует число $-2\pi$ (при $k=-1$): $-3\pi ⩽-2\pi ⩽-\frac{3\pi }{2}$. Соседние значения серии вне отрезка: $-4\pi <-3\pi$ и $0>-\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежит $-2\pi$.

Ответ: а) $2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$.