ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$: показательная функция определена для любого показателя.

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$. По свойству степени $9^{-\sin x}=\frac{1}{9^{\sin x}}$. Уравнение принимает вид

$$9^{\sin x}+\frac{1}{9^{\sin x}}=\frac{10}{3}.$$

Сделаем замену $t=9^{\sin x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$:

$$t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}.$$

Умножим обе части на $3t$. Так как $t>0$, множитель $3t$ не равен нулю, и переход равносилен:

$$3t^2+3=10t\iff 3t^2-10t+3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64=8^2.$$

Корни:

$$t_1=\frac{10+8}{6}=3,t_2=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}.$$

Оба корня положительны. Сделаем обратную замену и приведём обе части к основанию 3, учитывая $9^{\sin x}=3^{2\sin x}$:

$$[\begin{array}{l}{3}^{2\sin x}=3^1,\\ 3^{2\sin x}=3^{-1}.\end{array}$$

Функция $y=3^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$[\begin{array}{l}2\sin x=1,\\ 2\sin x=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2},\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Ординату $\frac{1}{2}$ имеют точки $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$, ординату $-\frac{1}{2}$ — точки $\frac{7\pi }{6}$ и $-\frac{\pi }{6}$. Эти четыре точки разбиваются на две пары диаметрально противоположных: $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$. Поэтому все решения записываются двумя сериями с периодом $\pi$:

$$x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит II, III и IV четверти. На ней лежат точки $\frac{5\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{6}$ и $-\frac{\pi }{6}$, а точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти — нет.

Найдём соответствующие числа на этом обороте: точке II четверти соответствует $-4\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{19\pi }{6}$, точке III четверти — $-4\pi +\frac{7\pi }{6}=-\frac{17\pi }{6}$, точке IV четверти — $-2\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{13\pi }{6}$. Проверим: $-\frac{21\pi }{6}⩽-\frac{19\pi }{6}<-\frac{17\pi }{6}<-\frac{13\pi }{6}⩽-\frac{12\pi }{6}$.

Соседние значения вне отрезка: в серии $\frac{\pi }{6}+\pi k$ рядом с $-\frac{17\pi }{6}$ стоят $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{11\pi }{6}>-2\pi$; в серии $-\frac{\pi }{6}+\pi k$ за найденными значениями идут $-\frac{25\pi }{6}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{7\pi }{6}>-2\pi$.

На отрезке лежат $-\frac{19\pi }{6}$, $-\frac{17\pi }{6}$, $-\frac{13\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{19\pi }{6}$; $-\frac{17\pi }{6}$; $-\frac{13\pi }{6}$.