ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$: от угла $\frac{\pi }{2}$ на вертикальной оси косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)-12\cdot \left(-\sin x\right)-7=0\iff 2-4{\sin }^{2}x+12\sin x-7=0.$$

Приведём подобные и умножим обе части на $-1$:

$$4{\sin }^{2}x-12\sin x+5=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2-12t+5=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=12^2-4\cdot 4\cdot 5=144-80=64=8^2.$$

Корни:

$$t_1=\frac{12+8}{8}=\frac{5}{2},t_2=\frac{12-8}{8}=\frac{1}{2}.$$

Корень $t_1=\frac{5}{2}>1$ не подходит: синус не бывает больше 1. Сделаем обратную замену для $t_2$:

$$\sin x=\frac{1}{2}.$$

Ординату $\frac{1}{2}$ имеют точка $\frac{\pi }{6}$ в I четверти и точка $\frac{5\pi }{6}$ во II четверти:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит III, IV и I четверти. Точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти на ней лежит, а точка $\frac{5\pi }{6}$ из II четверти — нет.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{18\pi }{6}=-3\pi$ и $\frac{\pi }{6}>-\frac{3\pi }{2}$. Проверим сам корень: $-\frac{18\pi }{6}⩽-\frac{11\pi }{6}⩽-\frac{9\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{19\pi }{6}<-\frac{18\pi }{6}=-3\pi$, а следующее значение $-\frac{7\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}=-\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежит $-\frac{11\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{6}$.