ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Косинус имеет период $2\pi$, поэтому $\cos (2\pi +2x)=\cos 2x$. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Упростим корни: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид

$$2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)-2+2\sqrt{2}\sin x=-\sqrt{6}+2\sqrt{3}\sin x\iff -4{\sin }^{2}x+2\sqrt{2}\sin x=-\sqrt{6}+2\sqrt{3}\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{2}\sin x-\sqrt{6}=0.$$

Сгруппируем слагаемые попарно. Заметим, что $\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$:

$$2\sin x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)-\sqrt{2}\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0\iff \left(2\sin x+\sqrt{3}\right)\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Ординату $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеют точки $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть), ординату $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — точки $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $0$ — правая точка, конец $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга против часовой стрелки проходит I, II и III четверти. На ней лежат точки $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$ и точка III четверти серии $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$. Точка IV четверти серии $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ дугой не покрыта.

Найдём числа. Точки I и II четверти на этом обороте — сами $\frac{\pi }{4}$ и $\frac{3\pi }{4}$. Точке III четверти соответствует $2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$; проверим: $\frac{4\pi }{3}=\frac{8\pi }{6}⩽\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$.

Соседние значения вне отрезка: $\frac{\pi }{4}-2\pi <0$ и $\frac{\pi }{4}+2\pi >\frac{3\pi }{2}$, аналогично для $\frac{3\pi }{4}$; в серии $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ это $-\frac{2\pi }{3}<0$ и $\frac{10\pi }{3}>\frac{3\pi }{2}$. Серия $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{\pi }{3}<0$, а следующее значение $\frac{5\pi }{3}=\frac{10\pi }{6}>\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежат $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{4\pi }{3}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$; $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$; $\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi }{4}$; $\frac{3\pi }{4}$; $\frac{4\pi }{3}$.