ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x$: от угла $\frac{3\pi }{2}$ на вертикальной оси синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где синус отрицателен.

По формуле косинуса разности $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$:

$$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{3}+\sin x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x.$$

Подставим оба выражения в уравнение:

$$2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)-2\cos x=0\iff \cos x+\sqrt{3}\sin x-2\cos x=0\iff \sqrt{3}\sin x-\cos x=0.$$

Получили однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не обращаются в нуль одновременно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\sqrt{3}\mathrm{tg}x-1=0\iff \mathrm{tg}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\iff x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности эта серия даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{6}$ в I четверти и $\frac{7\pi }{6}$ в III четверти.

б) Длина отрезка $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-2\pi$ — правая точка, конец $-\frac{\pi }{2}=-2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I, II и III четверти, поэтому на ней лежат обе точки серии.

Точке I четверти соответствует $-2\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6}$ (при $k=-2$), точке III четверти — $-2\pi +\frac{7\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$ (при $k=-1$). Проверим: $-2\pi =-\frac{12\pi }{6}⩽-\frac{11\pi }{6}<-\frac{5\pi }{6}⩽-\frac{3\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$.

Соседние значения серии вне отрезка: при $k=-3$ получаем $-\frac{17\pi }{6}<-2\pi$, при $k=0$ получаем $\frac{\pi }{6}>-\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{11\pi }{6}$ и $-\frac{5\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{6}$; $-\frac{5\pi }{6}$.