ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Выразим квадрат синуса через косинус по основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

$$4{\cos }^{3}x+3\cos x+4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\left(1-{\cos }^{2}x\right)\iff 4{\cos }^{3}x+3\cos x+4\sqrt{3}=4\sqrt{3}-4\sqrt{3}{\cos }^{2}x.$$

Слагаемые $4\sqrt{3}$ в обеих частях сокращаются. Перенесём всё в левую часть:

$$4{\cos }^{3}x+4\sqrt{3}{\cos }^{2}x+3\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x\left(4{\cos }^{2}x+4\sqrt{3}\cos x+3\right)=0.$$

Выражение в скобках — полный квадрат: $4{\cos }^{2}x+4\sqrt{3}\cos x+3={\left(2\cos x\right)}^2+2\cdot 2\cos x\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2={\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)}^2$. Получаем

$$\cos x{\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)}^2=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Абсциссу $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеют точка $\frac{5\pi }{6}$ во II четверти и точка $\frac{7\pi }{6}$ в III четверти. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отберём корни из отрезка $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ с помощью двойных неравенств: подставим каждую серию, разделим на $\pi$ и найдём целые $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$:

$$\frac{3\pi }{2}⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽3\pi \iff \frac{3}{2}⩽\frac{1}{2}+k⩽3\iff 1⩽k⩽\frac{5}{2}.$$

Подходят $k=1$ и $k=2$, получаем $x=\frac{3\pi }{2}$ и $x=\frac{5\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$:

$$\frac{3\pi }{2}⩽\frac{5\pi }{6}+2\pi k⩽3\pi \iff \frac{9}{6}-\frac{5}{6}⩽2k⩽\frac{18}{6}-\frac{5}{6}\iff \frac{1}{3}⩽k⩽\frac{13}{12}.$$

Подходит только $k=1$, получаем $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{17\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k$:

$$\frac{3\pi }{2}⩽\frac{7\pi }{6}+2\pi k⩽3\pi \iff \frac{9}{6}-\frac{7}{6}⩽2k⩽\frac{18}{6}-\frac{7}{6}\iff \frac{1}{6}⩽k⩽\frac{11}{12}.$$

Между $\frac{1}{6}$ и $\frac{11}{12}$ целых чисел нет, эта серия корней на отрезке не даёт.

Тот же результат видно на окружности: дуга от нижней точки $\frac{3\pi }{2}$ до левой точки $3\pi$ проходит IV, I и II четверти, поэтому точка $\frac{7\pi }{6}$ из III четверти на неё не попадает.

На отрезке лежат $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{17\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{7\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$; $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{17\pi }{6}$.