ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим обе части. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, поэтому

$$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x.$$

По формуле приведения $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)=-\sin x$, значит, $-2\sin (x-\pi )=2\sin x$. Уравнение принимает вид

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x.$$

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые попарно:

$$\left(2{\sin }^{2}x-2\sin x\right)+\left(\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\right)=0\iff 2\sin x\left(\sin x-1\right)+\sqrt{3}\left(\sin x-1\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x-1$:

$$\left(\sin x-1\right)\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен 1 только в верхней точке окружности: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Ординату $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеют точка $-\frac{\pi }{3}$ в IV четверти и точка $-\frac{2\pi }{3}$ в III четверти. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $-5\pi =-6\pi +\pi$ — левая точка, конец $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит III, IV и I четверти. На ней лежат все три точки: точка III четверти, точка IV четверти и верхняя точка (конец дуги).

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{7\pi }{2}$: соседние значения $-\frac{11\pi }{2}<-5\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-4\pi -\frac{\pi }{3}=-\frac{13\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{19\pi }{3}<-5\pi$ и $-\frac{7\pi }{3}>-\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-4\pi -\frac{2\pi }{3}=-\frac{14\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{20\pi }{3}<-5\pi$ и $-\frac{8\pi }{3}>-\frac{7\pi }{2}$.

Проверим попадание: $-5\pi =-\frac{15\pi }{3}⩽-\frac{14\pi }{3}<-\frac{13\pi }{3}⩽-\frac{7\pi }{2}$, так как $\frac{13}{3}\approx 4,33>3,5$.

На отрезке лежат $-\frac{14\pi }{3}$, $-\frac{13\pi }{3}$, $-\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$; $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$; $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{14\pi }{3}$; $-\frac{13\pi }{3}$; $-\frac{7\pi }{2}$.