ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: $\cos x+\sin 2x+25>0$. По определению логарифма ${\log }_{5}A=2$ означает $A=5^2=25$. Так как $25>0$, решения уравнения $A=25$ автоматически удовлетворяют ОДЗ, и переход равносилен:

$${\log }_5\left(\cos x+\sin 2x+25\right)=2\iff \cos x+\sin 2x+25=25\iff \cos x+\sin 2x=0.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$\cos x+2\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x\left(1+2\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Ординату $-\frac{1}{2}$ имеют точка $-\frac{\pi }{6}$ в IV четверти и точка $-\frac{5\pi }{6}$ в III четверти. Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на окружности. Начало $2\pi$ — правая точка, конец $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I, II и III четверти. На ней лежат верхняя точка, нижняя точка (конец дуги) и точка III четверти серии $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$. Точка IV четверти серии $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ дугой не покрыта.

Найдём соответствующие числа. Верхняя точка — $2\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{2}$, нижняя — $\frac{7\pi }{2}$, точка III четверти — $4\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{19\pi }{6}$. Проверим последнее: $2\pi =\frac{12\pi }{6}⩽\frac{19\pi }{6}⩽\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

Соседние значения вне отрезка: в серии $\frac{\pi }{2}+\pi k$ это $\frac{3\pi }{2}<2\pi$ и $\frac{9\pi }{2}>\frac{7\pi }{2}$; в серии $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ это $\frac{7\pi }{6}<2\pi$ и $\frac{31\pi }{6}>\frac{7\pi }{2}$. Серия $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{11\pi }{6}<2\pi$, а следующее значение $\frac{23\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

На отрезке лежат $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{19\pi }{6}$; $\frac{7\pi }{2}$.