ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным,

$$\cos 2x-9\sqrt{2}\cos x-8>0.$$

Решать это неравенство отдельно не нужно. По определению логарифма ${\log }_{13}A=0$ означает $A=13^0=1$. Число 1 положительно, поэтому всякое решение уравнения $A=1$ автоматически попадает в ОДЗ. Значит, переход равносилен:

$${\log }_{13}\left(\cos 2x-9\sqrt{2}\cos x-8\right)=0\iff \cos 2x-9\sqrt{2}\cos x-8=1.$$

Выразим косинус двойного угла через квадрат косинуса: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Тогда

$$2{\cos }^{2}x-1-9\sqrt{2}\cos x-8=1\iff 2{\cos }^{2}x-9\sqrt{2}\cos x-10=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$. Получаем квадратное уравнение

$$2t^2-9\sqrt{2}t-10=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D={\left(9\sqrt{2}\right)}^2+4\cdot 2\cdot 10=162+80=242={\left(11\sqrt{2}\right)}^2.$$

Корни:

$$t_1=\frac{9\sqrt{2}+11\sqrt{2}}{4}=5\sqrt{2},t_2=\frac{9\sqrt{2}-11\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Корень $t_1=5\sqrt{2}>1$ не подходит: косинус не может быть больше 1. Сделаем обратную замену для $t_2$:

$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Абсциссу $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеют две точки окружности: $\frac{3\pi }{4}$ во II четверти и $-\frac{3\pi }{4}$ в III четверти. Получаем

$$x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-2\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $-\frac{\pi }{2}=-2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней точкой. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти. Значит, на дуге лежат обе точки: и точка II четверти, и точка III четверти.

Найдём соответствующие числа. Точке II четверти на этом обороте соответствует $-2\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}$, точке III четверти — $-\frac{3\pi }{4}$. Оба числа лежат между $-2\pi =-\frac{8\pi }{4}$ и $-\frac{\pi }{2}=-\frac{2\pi }{4}$.

Соседние значения серий вне отрезка: для серии $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ это $-\frac{13\pi }{4}<-2\pi$ и $\frac{3\pi }{4}>-\frac{\pi }{2}$; для серии $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ это $-\frac{11\pi }{4}<-2\pi$ и $\frac{5\pi }{4}>-\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{5\pi }{4}$ и $-\frac{3\pi }{4}$.

Ответ: а) $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{4}$; $-\frac{3\pi }{4}$.