ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)=\cos \frac{x}{2}$. Для второго слагаемого: синус нечётен, поэтому $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)$, а $\sin (\pi -x)=\sin x$. Значит, $\sin (x-\pi )=-\sin x$, и уравнение принимает вид

$$\cos \frac{x}{2}+\sin x=0.$$

Чтобы получить общий множитель, распишем $\sin x$ как синус двойного угла от $\frac{x}{2}$: $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$. Тогда

$$\cos \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=0\iff \cos \frac{x}{2}\left(1+2\sin \frac{x}{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos \frac{x}{2}=0,\\ \sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k$, то есть $x=\pi +2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ордината $-\frac{1}{2}$ отвечает углам $-\frac{\pi }{6}$ и $-\frac{5\pi }{6}$, поэтому из второго уравнения

$$[\begin{array}{l}\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ \frac{x}{2}=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{3}+4\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{3}+4\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $[-8\pi ;-5\pi ]$ имеет длину $3\pi >2\pi$, к тому же у двух серий период $4\pi$, поэтому отберём корни двойными неравенствами. Для каждой серии разделим все части неравенства на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=\pi +2\pi k$:

$$-8⩽1+2k⩽-5\iff -9⩽2k⩽-6\iff -\frac{9}{2}⩽k⩽-3.$$

Подходят $k=-4$ и $k=-3$, корни $\pi -8\pi =-7\pi$ и $\pi -6\pi =-5\pi$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+4\pi k$:

$$-8⩽-\frac{1}{3}+4k⩽-5\iff -\frac{23}{3}⩽4k⩽-\frac{14}{3}\iff -\frac{23}{12}⩽k⩽-\frac{7}{6}.$$

Между $-1\frac{11}{12}$ и $-1\frac{1}{6}$ целых чисел нет, эта серия корней на отрезке не даёт.

Серия $x=-\frac{5\pi }{3}+4\pi k$:

$$-8⩽-\frac{5}{3}+4k⩽-5\iff -\frac{19}{3}⩽4k⩽-\frac{10}{3}\iff -\frac{19}{12}⩽k⩽-\frac{5}{6}.$$

Подходит только $k=-1$, корень $-\frac{5\pi }{3}-4\pi =-\frac{17\pi }{3}$.

На отрезке лежат $-7\pi$, $-\frac{17\pi }{3}$, $-5\pi$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$; $-\frac{\pi }{3}+4\pi k$; $-\frac{5\pi }{3}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-7\pi$; $-\frac{17\pi }{3}$; $-5\pi$.