ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

В правой части стоит ${\cos }^{2}x$, поэтому косинус двойного угла выразим через косинус: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Получаем

$$2{\cos }^{2}x-1+0,75={\cos }^{2}x\iff {\cos }^{2}x-0,25=0\iff {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}.$$

Извлекая корень, получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2},\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Абсцисса $\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\pm \frac{\pi }{3}$, абсцисса $-\frac{1}{2}$ — точкам $\pm \frac{2\pi }{3}$. Получаем $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$ и $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Эти четыре точки попарно диаметрально противоположны: $\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$ — та же точка, что $-\frac{2\pi }{3}$, а $-\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{2\pi }{3}$. Поэтому ответ записывается короче: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ — правая точка, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

На дугу попадают точки $\frac{\pi }{3}$ (I четверть), $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $\frac{4\pi }{3}$ (III четверть). Точка $\frac{5\pi }{3}$ из IV четверти на дуге не лежит.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка, прибавляя к началу $-4\pi$ соответствующий угол.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадают $-4\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{3}$ и $-4\pi +\frac{4\pi }{3}=-\frac{8\pi }{3}$ (заметим, $-\frac{16\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$): соседние значения $-\frac{14\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{5\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадает только $-4\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{10\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{13\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{7\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{11\pi }{3}$, $-\frac{10\pi }{3}$, $-\frac{8\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{3}$; $-\frac{10\pi }{3}$; $-\frac{8\pi }{3}$.