ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим отдельные части. По формуле приведения $\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\sin 2x$ (косинус чётен, а угол $\frac{\pi }{2}$ меняет косинус на синус). Также $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.

Чтобы все функции были от одного угла $2x$, применим формулы двойного угла:

$$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,\cos 4x=2{\cos }^{2}2x-1.$$

Тогда $\cos 2x\cdot \sin 4x=2\sin 2x{\cos }^{2}2x$, и уравнение принимает вид

$$2\sin 2x{\cos }^{2}2x-\frac{1}{2}\left(2{\cos }^{2}2x-1\right)=\sin 2x.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

$$2\sin 2x{\cos }^{2}2x-{\cos }^{2}2x+\frac{1}{2}-\sin 2x=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$${\cos }^{2}2x\left(2\sin 2x-1\right)-\frac{1}{2}\left(2\sin 2x-1\right)=0\iff \left(2\sin 2x-1\right)\left({\cos }^{2}2x-\frac{1}{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin 2x=\frac{1}{2},\\ {\cos }^{2}2x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Решим первое уравнение. Ордината $\frac{1}{2}$ отвечает углам $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$, поэтому

$$[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ 2x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{12}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Решим второе уравнение. Условие $\cos 2x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ задаёт четыре точки окружности $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$ — середины всех четвертей, они идут с шагом $\frac{\pi }{2}$. Поэтому

$$2x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}.$$

Тот же результат даёт формула понижения степени: ${\cos }^{2}2x-\frac{1}{2}=\frac{\cos 4x}{2}$, и уравнение $\cos 4x=0$ даёт $4x=\frac{\pi }{2}+\pi k$.

б) Серия $x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4}$ даёт восемь точек на окружности, поэтому отберём корни на отрезке $[-3\pi ;-2\pi ]$ двойными неравенствами. Для каждой серии разделим все части неравенства на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{12}+\pi k$:

$$-3⩽\frac{1}{12}+k⩽-2\iff -\frac{37}{12}⩽k⩽-\frac{25}{12}.$$

Между $-3\frac{1}{12}$ и $-2\frac{1}{12}$ лежит одно целое число $k=-3$, корень $x=\frac{\pi }{12}-3\pi =-\frac{35\pi }{12}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{12}+\pi k$:

$$-3⩽\frac{5}{12}+k⩽-2\iff -\frac{41}{12}⩽k⩽-\frac{29}{12}.$$

Между $-3\frac{5}{12}$ и $-2\frac{5}{12}$ лежит одно целое число $k=-3$, корень $x=\frac{5\pi }{12}-3\pi =-\frac{31\pi }{12}$.

Серия $x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4}$:

$$-3⩽\frac{1}{8}+\frac{k}{4}⩽-2\iff -\frac{25}{8}⩽\frac{k}{4}⩽-\frac{17}{8}\iff -\frac{25}{2}⩽k⩽-\frac{17}{2}.$$

Подходят $k=-12,-11,-10,-9$. Им соответствуют корни

$$\frac{\pi }{8}-3\pi =-\frac{23\pi }{8},\frac{\pi }{8}-\frac{11\pi }{4}=-\frac{21\pi }{8},\frac{\pi }{8}-\frac{5\pi }{2}=-\frac{19\pi }{8},\frac{\pi }{8}-\frac{9\pi }{4}=-\frac{17\pi }{8}.$$

Расположим все найденные корни по возрастанию (приведя к знаменателю $24$: $-\frac{70\pi }{24}$, $-\frac{69\pi }{24}$, $-\frac{63\pi }{24}$, $-\frac{62\pi }{24}$, $-\frac{57\pi }{24}$, $-\frac{51\pi }{24}$). На отрезке лежат $-\frac{35\pi }{12}$, $-\frac{23\pi }{8}$, $-\frac{21\pi }{8}$, $-\frac{31\pi }{12}$, $-\frac{19\pi }{8}$, $-\frac{17\pi }{8}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{12}+\pi k$; $\frac{5\pi }{12}+\pi k$; $\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{35\pi }{12}$; $-\frac{23\pi }{8}$; $-\frac{21\pi }{8}$; $-\frac{31\pi }{12}$; $-\frac{19\pi }{8}$; $-\frac{17\pi }{8}$.